Algo más del teorema de Pitágoras

A modo de extensión del teorema de Pitágoras veremos el siguiente video.

Ahora que ya lo viste intentanlo realizarlo.

Aplicando el Teorema de Pitágoras

Ahora que ya conocemos el teorema de Pitágoras resolveremos los siguientes ejercicios, pero antes les dejo el siguiente material para que puedan descargarlo.

EJERCICIOS:

1.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 m y la proyección de un cateto sobre ella 60 m. Calcular:

• Los catetos.
• La altura relativa a la hipotenusa.
• El área del triángulo.

2.- Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es 6 cm y la altura relativa de la misma cm.
3.- Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista  6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?
4.- Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.
5.- Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 cm.
6.- En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.
7.Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal.
8.-El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.
9.- A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.
10.-En una circunferencia una cuerda mide 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.

Demostramos el teorema de Pitágoras

Recuperando saberes previos:

¿Quién fue Pitágoras? ¿Conoce el Teorema de Pitágoras? ¿De qué trata el teorema de Pitágoras?

Conflicto cognitivo:

¿Cómo demostramos que el cuadrado de la hipotenusa es a la suma de los cuadrados de los catetos?

Queremos demostrar: \[c^{2}=a^{2}+a^{2}\]  Es decir según el gráfico: \[\acute{A}rea_{ \square ABCD}= \acute{A}rea_{ \square AEFG}+\acute{A}rea_{ \square GHIB}\]

Primero demostraremos que el área del cuadrado AEFG es igual al área del rectángulo DAKJ, es decir:
 \[\acute{A}rea_{ \square AEFG}= \acute{A}rea_{ \square DAKJ}\]

Por congruencia de triángulos LAL (Lado Ángulo Lado)

\[\bigtriangleup _{EAB}=\bigtriangleup _{GAD}\]
Nótese que: \[\acute{A}rea \bigtriangleup _{EAB}=2(\acute{A}rea \square_{AEFG} ))\cdots (1)\]
\[\acute{A}rea \bigtriangleup _{GAC}=2( \acute{A}rea  \square _{ADJK})\cdots (2)\]

Igualando (1) y (2)

\[\acute{A}rea_{\square AEFG }= \acute{A}rea_{\square ADJK } \]  

Segundo demostraremos que el área del cuadrado GHIB es igual al área del rectángulo KBCJ, es decir: 


\[\acute{A}rea_{ \square GHIB}= \acute{A}rea_{ \square KBCJ}\]

Por congruencia de triángulos LAL (Lado Ángulo Lado)

\[\bigtriangleup _{IAB}=\bigtriangleup _{CGB}\]

Nótese que:\[\acute{A}rea \bigtriangleup _{IAB}=2(\acute{A}rea \square_{GHIB} ))\cdots (1)\]

\[\acute{A}rea \bigtriangleup _{DGB}=2( \acute{A}rea  \square _{KJCB})\cdots (2)\]

Igualando (1) y (2)

\[\acute{A}rea_{ \square GHIB}= \acute{A}rea_{ \square KBCJ}\]


La demostración realizada es según a los elementos de euclides, existe muchas formas de demostrar este teorema, así que te invito a que demuestres el teorema de otra manera.

• Video de la demostración del Teorema de Pitágoras
• Otras demostraciones del Teorema de Pitágoras

Conociendo a Pitágoras

Pitagoras 1p

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